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http://q.hatena.ne.jp/1260559124
この回答はひどい。しかしどうやるんだろ。

f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d
で出来る限り max{ f(x) } - min{ f(x) } ( -1 ≦ x ≦ 1 ) を最小にすることを考える。

しかし三次と一次の項が存在すると f(1) - f(-1) が 0 にならず、それゆえに
max{ f(x) } - min{ f(x) } の値を大きくする方向にしか働かないであろう。
a = c = 0
f(x) = x^4 + bx^2 + d
平方完成させる
f(x) = (x^2 + \frac{b}{2})^2 -\frac{b^2}{4} + d
平方部分の最大値を可能な限り小さくすることを考えると
\frac{b}{2} = -\frac{1}{2}
∴ b = -1
f(x) = x^4 -x^2 + e
x = -1 , 0 , 1 のとき f(x) = e
x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} のとき f(x) = -\frac{1}{4} + e
f(0) - f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{4}
で、最初の問題にある-\frac{1}{8} < f(x) < \frac{1}{8}は、eをどうやってもぴったし無理。

とあたりはつくんだが、さて証明に持っていくにはどうする。